A continuación te presentaremos demostraciones apoyadas en videos para que comprendas el porque de algunas formulas para volumenes que hemos utilizado. Preste mucha atención y diviertete.
VOLUMEN DEL CONO
Para
calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cono = (área de la base × altura) ÷ 3
|
El volumen de un cono cualquiera equivale a un
tercio del volumen de un cilindro de igual base y de igual altura que ese cono.
Por ello es que basta dividir por tres (3) o multiplicar por un tercio (1/3) el
volumen del cilindro para conocer el volumen del cono allí contenido.
Ejemplo: Si se tiene un cono cuya base
es un círculo de 5 cm y su altura es de 12 cm, entonces el volumen será de:
Volumen
=
|
3,14 ×
52 × 12
———————— = 3 |
3,14 ×
25 × 12
———————— = 3 |
948
—— = 3 |
316 cm3
|
El
volumen encontrado es de 316 centímetros cúbicos. El volumen se expresa en
unidades cúbicas.
Visitar
la siguiente dirección para que veas la demostración
VOLUMEN
DE PIRÁMIDES
Para calcular el volumen de una pirámide regular lo
haremos a partir del volumen de un cubo.
Dentro del cubo que representamos podemos poner
seis pirámides cuadrangulares regulares, de base cada una de las caras del cubo
y de vértice el centro del cubo.
En la
ilustración se representan dos pirámides; tendremos cuatro más.
Observa
la figura para comprobar que la arista del cubo es el doble de la altura de una
de las pirámides. Así, podemos decir:
Este
resultado es extensible para cualquier pirámide regular, y podemos afirmar que:
El área
de la base dependerá del tipo de polígono que sea (cuadrado, triángulo,
pentágono, etc.).
Caso práctico.
Supongamos
que tenemos una pirámide y un prisma que tienen la misma base (cuadrangular,
triangular, etc.) y la misma altura.
Llenamos
la pirámide de agua y la vertemos en el prisma observando que solo ocupa una
tercera parte del prisma (1/3).
Esto
quiere decir que necesitamos tres pirámides llenas para cubrir un prisma; con
lo cualdeducimos que el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del
prisma.
Para
reforzar tu conocimiento observas la
demostración del siguiente video.
VOLUMEN
DE UNA ESFERA:
DEMOSTRACIÓN DEL VOLUMEN DE
ESFERA
Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:
Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:
Esta fórmula se
debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos
y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.
Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radrio también R:
Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radrio también R:
Cortó las tres
figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a
distancia dde la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo
serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:
§ Cilindro: circunferencia de
radio R.
§ Semiesfera: también una
circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la
siguiente figura
§ Cono: también una
circunferencia, pero ahora, como podemos se ve aquí
el radio es d.
Por tanto tenemos:
Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección
semiesfera+Sección cono
Las secciones de
cada figura son como rebanadas de las figuras:
Si para cada
rebanada se tiene la relación anterior parace bastante claro que los volúmenes
siguen la misma relación. Es decir:
Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono
Pero Arquímedes
conocía los volúmenes del cilindro y del cono:
Por tanto:
De donde
multiplicando por 2 obtenemos el volumen de una esfera de radio R:
Tanto admiraba
Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente
imagen:
visitar la página para ver la demostración en un video:
VOLUMEN DE CUERPOS IRRGULARES.
Para
practicar el cálculo del volumen de cuerpos no regulares te recomendamos
visitar ésta página para que juegues y aprendas:
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